首先是一元函数的连续性：

一元函数如果某一点的左右极限不相等，则该点不连续：

然后是连续与可导的关系：

但是连续不一定可导：

图1

上图的函数是连续的，但由于左右导数不相等，所以不可导。

再看可导与可微的关系：

从上图可以看出，只要某一点的导数存在，这一点的微分就存在，所以一元函数的可导性与可微性是一致的。

对于多元函数来说就比较复杂了。

图2

上图是多元函数连续可导可微之间的关系图。图中的可导是指偏导数存在。

上图有四组相互之间的关系，下面逐一讨论。

第一：函数连续与可导之间的关系。

函数连续的定义：

这组关系已经在《从导数的意义理解多元函数的偏导数存在性与连续性为何无关》一文中详细讨论过，也就是说，多元函数连续与可导之间互相无关。

关于这个结论得出来的原因，我们大概可以记住下面两个图就可以了：

图3

由于多元函数趋近某个点的方向任意性，导致某个函数不连续但却在这一点可导。

图4

上面这个图表示这个圆锥的顶点连续，但在yoz的截面却像图1 一样没有导数，说明多元函数连续不一定可导。

第二：函数连续与可微之间的关系。

函数可微的定义：

考察函数连续与可微的关系：

上图的意思很简单，微分表达式表示的就是当xoy平面上两点A,B无限趋近的时候，与之相对应的曲面上两点的高度变化也趋近于0，而这个结论正好说明函数连续。

所以可微一定连续。

图5

由于全微分可以表示为

图6

由上式可以看出，微分由偏导数表示，但函数连续与函数可导无关，所以

函数连续不一定可微。

第三：函数可微与可导之间的关系。

图7

上述证明过程还是说明由于二元函数方向性的存在，导致

函数可导不一定可微。

由于全微分一定可以由偏导数表示：

如果函数z=f(x,y)在点

所以函数在某点可微一定在这一点有偏导数，也就是可导。

函数可微一定可导。

第四：函数偏导数连续与可微之间的关系。

首先，由前述看出，函数可微只能推出函数在该点的偏导数存在，并不能推出该点的偏导数连续，所以

函数可微不一定偏导数连续。

图8

上述证明的过程中用到了偏导数的连续性，也就是说，如果偏导数不连续，上面的证明就不成立，所以，函数可微一定要求函数的偏导数连续。

由此得到：

函数某点的偏导数连续，则必然可微。

通过以上的证明过程，我们如果要比较牢固地把握图2中多元函数连续可导可微与偏导数连续之间的相互关系，就需要理解并掌握图1、图3、图4、图5、图6、图7和图8表示的意思。

综合以上：

1：对于一元函数来说，可导一定连续，但连续不一定可导。而一元函数的可导与可微是统一的。

2：大部分是由于多元函数的方向性，导致了多元函数连续可导可微之间的复杂关系。