作者 | 刘洋洲来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

2016年3月，AlphaGo与围棋世界冠军、职业九段棋手李世石进行围棋人机大战，以4:1的总比分获胜，标志着围棋迎来AI时代。尽管人类职业棋手已经远远被AI甩在身后，但是围棋之谜并没有就此终结。

上一篇文章我们围绕围棋最基本的两个概念「气」、「目」展开讨论，展示了各种棋形对于两者的影响。接下来我们尝试研究棋子之间的「势函数」及其性质。由此对围棋的招法做简单的评判。n-边界在上文中我们避免在棋盘空间引入度量，仅仅从图的拓扑入手，就定义了「气」与「目」的概念。下面我们会引入出租车度量（Taxicab Distance），借助它描述一块棋的气变得更加方便——一块棋的1-边界就是气。所谓出租车度量，区别于欧氏度量（），是一种定义在标准网格上的距离，例如，坐标为的两点，按照欧氏度量计算，距离应该是，而按照出租车度量计算，则应该是!! 定义1（n-边界）我们定义1-边界就是距离为1的点的集合，进而我们有2-边界，依次类推……特别地，我们定义0-边界就是这块棋的本身。如下为中腹一颗子的边界图。

从内到外分别是这颗子的1~5级边界。这些方框是出租车度量下的同心圆。

可以看出各种传统招法与边界之间的联系：跳、尖，实际上就是落子于盘面已有连通分支的2-边界上；二间跳（或称大跳）和小飞，是落子于3-边界；大飞、象步，落子于4-边界……

常见招法

从这个角度去审视布局占角的各种方式，我们发现：三三是将棋盘两边置于落子的2-边界；小目是将棋盘两边分别置于落子的2 、3-边界；星是将棋盘两边置于落子的 3-级边界；高目是将棋盘两边分别置于落子的 3、4-边界……

第一手布局常见招法

势函数距离的远近关乎棋的生死。我们借用物理中场的概念，考虑等势曲线：属于同一条等势曲线的棋子我们视其为有相同的势。距离越近，势越大，反之，势越小。比如引力场的势与距离成反比，那么围棋的势函数有什么特性呢？这完全取决于我们如何定义。

!! 定义2（势函数）在特定的范围内，给定某局面下，黑白某方两块棋在所有局面中连接成功的概率，用条件概率表示为：

根据条件概率的计算公式

方便我们计算势函数。

这么说有些抽象，我们先来看一个例子。

例 1

见上图，黑棋跳，只需再走一手棋就可以连接两子。我们考虑的局部范围是（温馨提示：按照围棋的传统，棋盘左下角的坐标是而并非坐标原点）。给定的局面是这三个位置中，已经有两个位置被黑棋占据，接下来计算此两子连接的概率：按照直觉计算，星位有黑、白、空三种情况（空意味着脱先），但只有一种情况符合要求，所以此概率为

例 2

秀策小尖（黑棋）

如上图，黑棋小尖，两颗黑子在彼此的2-边界上。我们考虑的局部范围是黑棋二子连接的道路有两条，步长为2-级路径却有两条（见下图），两个空点，共有 种情况，但是相连的情况有5种，所以两黑子之间的势为

绿圈有黑白空三种状态，两图有一种状态是重合的

例 3

小飞的连接情况有三种路线，我们顺次记为，我们要求的是这三种路线包含的状态的并集的元素个数。

由逐步淘汰原则（#表示集合元素个数），

那么，

代入公式，

于是小飞的势值、不确定度：

一般情况的估计将棋盘定义在复平面上，设棋盘上两点， 不妨设是正整数。

m=6，n=3

如上图，两黑子连接所有步长为的路线都在红色框内，由隔板法可知总共有 条路线，除去个位置是黑棋，其他个位置黑白空随意（这当中可能会出现重复的状态），这是A抵达B的所有路线情况，于是其势为：，对步长为的点的势当然可以进行更精确估计，但是冗余的估计我就不写了。可以看出，当固定时，随着步长的增加，势急剧下降。通过前面例3，我们知道计算势函数的值的一般方法就是，我们记 ：上面公式需要说明两点：是对所有的组合求和，其他同理；表示路线与的联合概率，其他同理。显然上面的估计是取该式子的第一项求和。当固定时，取关于势函数的计算，我们还是交给计算机去计算吧！当我们将第一手下在天元的时候，观察棋盘上所有点的位势图。

天元大势图

从图像可以看出势函数的大致变化趋势。这幅图某种程度上体现了传统着法的合理性，超过绿色带状区域，值低于，绿色区域大致在2~3-边界之内。如果“飞”得太远，建立新的连通分支的可能性就很高了，也就是说很难连回去了。

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