前言

数学作为小学阶段的核心学科，其重要性不言而喻。小学数学不仅是培养孩子逻辑思维能力的关键时期，更是为未来学习奠定基础的重要阶段。然而，对于许多家长而言，如何有效辅导孩子学习数学却成为了一大难题。面对教材版本多样、知识点繁多、解题方法灵活等问题，家长们迫切需要一份系统、全面、实用的数学概念大全。

本资料正是基于这样的需求而编写的。它涵盖了小学一至六年级的全部数学概念，按照国家课程标准的要求，系统梳理了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域的核心内容。特别值得注意的是，本资料不仅包含了人教版、北师大版、苏教版等主流版本的共同考点，还为每个概念配备了精心设计的例题和详细的解题步骤讲解，真正做到了 "一书在手，辅导无忧"。

在编写过程中，我们充分考虑了普通家长的实际需求。每一个数学概念都配有清晰的定义、详细的解析、典型的例题和深入的思考过程。更重要的是，我们还为许多抽象的数学概念提供了直观的插图和形象的比喻，让家长能够轻松理解并传授给孩子。同时，我们还特别关注了易错点的分析和解题策略的指导，帮助孩子避免常见错误，掌握正确的思维方法。

本资料的另一个特点是采用了 "螺旋式上升" 的编排理念。数学概念并非孤立存在，而是相互关联、层层递进的。我们在编排时充分体现了这一特点，让家长能够帮助孩子建立起完整的知识体系。从一年级的 20 以内数的认识，到六年级的负数、比例等概念，每一个阶段都有其独特的价值和意义。

最后，我们希望通过这份资料，能够帮助家长更好地理解小学数学的知识体系，掌握科学的辅导方法，与孩子一起在数学学习的道路上共同成长。数学不仅是一门学科，更是一种思维方式的培养。让我们携手努力，为孩子的未来奠定坚实的数学基础。

一、数与代数1.1 数的认识1.1.1 整数的认识

概念定义：整数包括正整数、零和负整数。在小学阶段，我们主要学习自然数（0、1、2、3……）的认识和应用。

知识点解析：整数的认识是数学学习的起点，它遵循着从具体到抽象、从简单到复杂的认知规律。一年级学习 20 以内数的认识，二年级扩展到 100 以内，三年级认识万以内的数，四年级则学习更大的数如亿以内的数。每一个阶段都在前一阶段的基础上进行扩展和深化。

典型例题：

基础题：

写出比 15 大比 20 小的所有自然数。解题步骤：从 15 开始往后数，16、17、18、19，这些都是比 15 大比 20 小的数。答案：16、17、18、19一个数由 3 个十和 5 个一组成，这个数是多少？解题步骤：3 个十就是 30，5 个一就是 5，合起来就是 30+5=35。答案：35

提高题：

用 5、0、8 三个数字能组成多少个不同的三位数？解题步骤：百位不能为 0，所以百位只能是 5 或 8。当百位是 5 时，组成 508、580；当百位是 8 时，组成 805、850。答案：4 个（508、580、805、850）一个五位数，最高位是最小的合数，百位是最小的质数，个位是最大的一位数，其余各位都是 0，这个数是多少？解题步骤：最小的合数是 4，最小的质数是 2，最大的一位数是 9。所以万位是 4，百位是 2，个位是 9，其余是 0。答案：40209

易错点提示：

0 的特殊性：0 是最小的自然数，但不能作为多位数的最高位。数位顺序：从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位…… 要注意区分 "数位" 和 "计数单位"。读数和写数：读数时，中间有一个 0 或连续几个 0，都只读一个 "零"；末尾的 0 不读。写数时，哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写 0。

思考过程：整数的认识看似简单，实则蕴含着深刻的数学思想。比如，通过计数器可以直观地理解 "满十进一" 的道理；通过数轴可以理解数的顺序和大小关系；通过小棒的捆扎可以理解数位的意义。家长在辅导时，要多借助这些直观工具，帮助孩子建立数感。

1.1.2 小数的认识

概念定义：小数是十进制分数的另一种表现形式。把单位 "1" 平均分成 10 份、100 份、1000 份…… 表示这样的一份或几份的数叫做小数。

知识点解析：小数的认识从三年级开始接触，四年级深入学习小数的意义和性质，五年级学习小数的四则运算。小数与整数一样，相邻两个计数单位间的进率都是 10。

典型例题：

基础题：

0.5 表示什么意思？解题步骤：0.5 是一位小数，表示把 "1" 平均分成 10 份，取其中的 5 份，即 5/10。答案：0.5 表示 5 个十分之一。把 1.25 改写成三位小数。解题步骤：根据小数的性质，在小数的末尾添上 0 或去掉 0，小数的大小不变。所以在 1.25 后面添一个 0 即可。答案：1.250

提高题：

一个三位小数，精确到百分位是 3.45，这个小数最大是多少？最小是多少？解题步骤：精确到百分位看千分位。最大时，千分位要舍去，所以最大是 3.454；最小时，千分位要进位，所以最小是 3.445。答案：最大 3.454，最小 3.445比较 0.3、0.30、0.300 的大小，并说明它们的意义有什么不同。解题步骤：根据小数的性质，0.3=0.30=0.300。但它们的计数单位不同：0.3 的计数单位是 0.1，0.30 是 0.01，0.300 是 0.001。答案：三个数大小相等，但 0.3 表示 3 个 0.1，0.30 表示 30 个 0.01，0.300 表示 300 个 0.001。

易错点提示：

小数点位置：小数点的位置决定了小数的大小，移动小数点会改变小数的值。小数位数：要区分 "小数部分的位数" 和 "小数位数"。如 0.05 是两位小数，而不是一位小数。单位换算：在进行单位换算时，要注意单位间的进率。如 1 米 = 100 厘米，所以 3 厘米 = 0.03 米。

思考过程：小数的认识需要建立在分数理解的基础上。家长可以通过生活中的例子帮助孩子理解，如人民币的元角分（1 角 = 0.1 元）、长度单位的换算（1 分米 = 0.1 米）等。同时，可以借助方格纸来表示小数，如把一个正方形平均分成 100 份，涂色部分就可以用小数表示。

1.1.3 分数的认识

概念定义：把单位 "1" 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中一份的数叫做分数单位。

知识点解析：分数的认识从三年级开始，经历了初步认识、深入理解、实际应用三个阶段。分数包括真分数、假分数和带分数，它们可以相互转化。分数的基本性质是约分和通分的基础。

典型例题：

基础题：

把一根 3 米长的绳子平均分成 5 段，每段长多少米？每段是全长的几分之几？解题步骤：求每段长多少米，用总长度除以段数，即 3÷5=3/5（米）；求每段是全长的几分之几，把全长看作单位 "1"，平均分成 5 段，每段就是 1/5。答案：每段长 3/5 米，每段是全长的 1/5。把 12/18 约分成最简分数。解题步骤：先找出 12 和 18 的最大公因数是 6，然后分子分母同时除以 6，即 12÷6=2，18÷6=3。答案：2/3

提高题：

比较 5/6 和 7/8 的大小。解题步骤：方法一：通分，5/6=20/24，7/8=21/24，因为 20/24<21/24，所以 5/6<7/8。方法二：比较 1-5/6=1/6，1-7/8=1/8，因为 1/6>1/8，所以 5/6<7/8。答案：5/6<7/8有一个分数，分子加上 1 可约简为 1/4，分母减去 1 可约简为 1/5，这个分数是多少？解题步骤：设这个分数为 x/y，根据题意可得 (x+1)/y=1/4，x/(y-1)=1/5。解方程组得 x=3，y=16。答案：3/16

易错点提示：

单位 "1" 的理解：要明确单位 "1" 是一个整体，可以是一个物体、一个图形、一个计量单位，也可以是许多物体组成的一个整体。分数与除法的关系：分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。但要注意，分母不能为 0。假分数与带分数的互化：假分数化成带分数，用分子除以分母，商作整数部分，余数作分子，分母不变。

思考过程：分数的理解是小学数学的一个难点，需要通过大量的操作活动来建立表象。家长可以通过折纸、分物等活动帮助孩子理解分数的意义。比如，把一张纸对折再对折，每一份就是 1/4；把一个蛋糕平均分成 8 份，3 份就是 3/8。同时，可以利用圆形纸片来演示分数的大小比较，通过涂色部分的多少直观感受分数的大小。

1.1.4 百分数的认识

概念定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号 "%" 来表示。

知识点解析：百分数在六年级上册学习，它是一种特殊的分数，分母固定为 100。百分数在生活中有广泛的应用，如出勤率、合格率、利息、折扣等。

典型例题：

基础题：

把 0.25、3/4、1.2 化成百分数。解题步骤：0.25×100%=25%；3/4=0.75×100%=75%；1.2×100%=120%。答案：25%、75%、120%某班有 50 人，今天出勤 48 人，求出勤率。解题步骤：出勤率 = 出勤人数 ÷ 总人数 ×100%，即 48÷50×100%=96%。答案：96%

提高题：

一件衣服原价 200 元，打八折出售，现价多少元？解题步骤：打八折就是按原价的 80% 出售，所以现价 = 200×80%=160（元）。答案：160 元一种商品先提价 10%，再降价 10%，现价与原价相比是涨了还是跌了？解题步骤：设原价为 100 元，提价 10% 后是 100×(1+10%)=110 元，再降价 10% 是 110×(1-10%)=99 元。所以现价比原价跌了。答案：跌了

易错点提示：

百分数与分数的区别：百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；分数既可以表示具体的数量，也可以表示两个数的关系，当表示具体数量时可以带单位。百分数的读法：读百分数时，先读 "百分之"，再读百分号前面的数，如 32% 读作 "百分之三十二"。折扣问题：几折就是十分之几，也就是百分之几十。如七折就是 70%，八五折就是 85%。

思考过程：百分数在生活中应用广泛，家长可以在购物、银行存款等场景中引导孩子学习。比如，商场促销时的 "满 200 减 50" 相当于打了几折；银行存款的年利率是多少，一年能获得多少利息等。通过这些实际问题，让孩子感受到数学与生活的密切联系。

1.2 数的运算1.2.1 整数四则运算

概念定义：整数四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种基本运算。加法是把两个数合并成一个数的运算；减法是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算；乘法是求几个相同加数和的简便运算；除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

知识点解析：整数四则运算贯穿整个小学阶段，从一年级的 10 以内加减法开始，逐步扩展到 20 以内、100 以内、万以内，再到多位数的乘除法。在运算过程中，要遵循 "先乘除，后加减，有括号先算括号里面的" 的运算顺序。

典型例题：

基础题：

计算：345+289解题步骤：列竖式计算，相同数位对齐，从个位加起。5+9=14，个位写 4，向十位进 1；4+8+1=13，十位写 3，向百位进 1；3+2+1=6，百位写 6。答案：634计算：720-348解题步骤：列竖式计算，相同数位对齐，从个位减起。0 减 8 不够减，从十位借 1 当 10，10-8=2；十位 2 被借走 1 剩 1，1 减 4 不够减，从百位借 1 当 10，11-4=7；百位 7 被借走 1 剩 6，6-3=3。答案：372计算：25×18解题步骤：方法一：25×18=25×(20-2)=25×20-25×2=500-50=450。方法二：列竖式计算，先用 18 个位上的 8 乘 25 得 200，再用十位上的 1 乘 25 得 250，最后相加 200+250=450。答案：450计算：936÷24解题步骤：列竖式计算，先看被除数的前两位 93，93 除以 24 商 3 余 21，把 6 落下来是 216，216 除以 24 商 9，刚好除尽。答案：39

提高题：

简便计算：47+236+53解题步骤：利用加法交换律，47+53=100，再加上 236，100+236=336。答案：336简便计算：25×32×125解题步骤：把 32 拆成 4×8，然后利用乘法结合律，(25×4)×(8×125)=100×1000=100000。答案：100000计算：(125+7)×8解题步骤：利用乘法分配律，125×8+7×8=1000+56=1056。答案：1056计算：240÷5÷6解题步骤：根据除法的性质，一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。所以 240÷(5×6)=240÷30=8。答案：8

易错点提示：

进位和退位：在加减法计算中，要注意进位和退位。特别是连续进位和连续退位的情况，容易出错。数位对齐：在列竖式计算时，要注意相同数位对齐，尤其是在计算乘法时，要注意积的位置。0 的处理：在计算中遇到 0 时要特别注意。如 0 乘任何数都得 0；0 除以任何非 0 的数都得 0；在写数时，哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写 0。运算顺序：在混合运算中，要严格按照运算顺序进行计算。可以通过画横线的方式标记运算顺序，避免出错。

思考过程：整数四则运算是数学运算的基础，家长在辅导时要注重培养孩子的计算习惯。首先，要让孩子理解每种运算的意义，不能仅仅停留在机械的计算上。其次，要通过大量的练习提高计算的熟练度和准确性。最后，要引导孩子发现一些运算规律，学会简便计算，提高计算效率。

1.2.2 小数四则运算

概念定义：小数四则运算是指小数的加法、减法、乘法和除法运算。小数加减法的计算方法与整数相同，关键是要把小数点对齐；小数乘除法需要注意小数点的位置变化(109)。

知识点解析：小数四则运算在五年级学习，是在整数运算和小数意义理解的基础上进行的。小数加减法要注意小数点对齐，小数乘法要注意积的小数位数，小数除法要注意商的小数点位置。

典型例题：

基础题：

计算：3.5+2.78解题步骤：把小数点对齐，从最低位加起。5+8=13，百分位写 3，向十分位进 1；3+7+1=11，十分位写 1，向个位进 1；3+2+1=6，个位写 6。答案：6.28计算：12.5-3.64解题步骤：把小数点对齐，从最低位减起。0 减 4 不够减，从十分位借 1 当 10，10-4=6；十分位 5 被借走 1 剩 4，4 减 6 不够减，从个位借 1 当 10，14-6=8；个位 2 被借走 1 剩 1，1 减 3 不够减，从十位借 1 当 10，11-3=8；十位 1 被借走 1 剩 0。答案：8.86计算：2.5×0.4解题步骤：先按整数乘法计算 25×4=100，再看因数中一共有两位小数，就从积的右边起数出两位，点上小数点，得到 1.00，化简为 1。答案：1计算：1.8÷0.3解题步骤：根据商不变的性质，把被除数和除数同时扩大 10 倍，变成 18÷3=6。答案：6

提高题：

简便计算：0.25×4.78×4解题步骤：利用乘法交换律，0.25×4=1，再乘 4.78，1×4.78=4.78。答案：4.78简便计算：9.9×3.6解题步骤：把 9.9 看作 10-0.1，利用乘法分配律，10×3.6-0.1×3.6=36-0.36=35.64。答案：35.64计算：(3.2×1.5+2.5)÷1.6解题步骤：先算括号里的乘法 3.2×1.5=4.8，再算加法 4.8+2.5=7.3，最后算除法 7.3÷1.6=4.5625。答案：4.5625计算：7.2÷0.25÷4解题步骤：根据除法的性质，7.2÷(0.25×4)=7.2÷1=7.2。答案：7.2

易错点提示：

小数点对齐：在小数加减法中，关键是要把小数点对齐，而不是末位对齐。积的小数位数：在小数乘法中，积的小数位数等于两个因数小数位数的和。如果积的末尾有 0，要先点小数点，再去掉末尾的 0。商的小数点：在小数除法中，商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。如果除到被除数的末尾仍有余数，可以在余数后面添 0 继续除。单位换算：在解决实际问题时，要注意单位的统一。如计算价格时，要把元、角、分统一成元再计算。

思考过程：小数运算的关键是理解小数点的移动规律。家长可以通过人民币的计算帮助孩子理解，如 1 元 2 角 3 分 = 1.23 元，这样的换算过程其实就是小数点移动的过程。同时，可以利用数位顺序表来演示小数的加减法，让孩子直观地看到小数点对齐的重要性。

1.2.3 分数四则运算

概念定义：分数四则运算是指分数的加法、减法、乘法和除法运算。同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分再计算；分数乘法是分子相乘作分子，分母相乘作分母；分数除法是除以一个数等于乘这个数的倒数。

知识点解析：分数四则运算在五年级下册学习，是在分数意义理解和通分、约分基础上进行的。分数运算的核心是理解分数单位，掌握通分和约分的方法。

典型例题：

基础题：

计算：1/4+3/4解题步骤：同分母分数相加，分母不变，分子相加。1+3=4，所以 4/4=1。答案：1计算：5/6-1/3解题步骤：异分母分数相减，先通分。6 和 3 的最小公倍数是 6，1/3=2/6，所以 5/6-2/6=3/6=1/2。答案：1/2计算：2/3×4/5解题步骤：分子相乘 2×4=8，分母相乘 3×5=15，所以是 8/15。答案：8/15计算：3/8÷9/16解题步骤：除以一个分数等于乘它的倒数，所以 3/8×16/9=48/72=2/3。答案：2/3

提高题：

简便计算：7/13+5/11+6/13+6/11解题步骤：利用加法交换律和结合律，(7/13+6/13)+(5/11+6/11)=1+1=2。答案：2简便计算：5/7×16×21/5解题步骤：利用乘法交换律，5/7×21/5×16=3×16=48。答案：48计算：1/2+1/6+1/12+1/20解题步骤：观察发现，1/2=1-1/2，1/6=1/2-1/3，1/12=1/3-1/4，1/20=1/4-1/5，所以原式 = 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5=1-1/5=4/5。答案：4/5计算：(1/2+1/3)÷(5/6-1/4)解题步骤：先算括号里的，1/2+1/3=5/6，5/6-1/4=7/12，然后 5/6÷7/12=5/6×12/7=10/7。答案：10/7

易错点提示：

通分方法：在进行异分母分数加减时，要先找到两个分母的最小公倍数作为公分母。可以用短除法来找最小公倍数。约分技巧：在计算过程中，能约分的要先约分，可以使计算简便。特别是在分数乘法中，交叉约分更简便。倒数概念：要理解倒数的意义，乘积是 1 的两个数互为倒数。0 没有倒数，1 的倒数是 1。混合运算顺序：分数混合运算的顺序与整数混合运算相同，先乘除后加减，有括号先算括号里面的。

思考过程：分数运算的难点在于理解分数单位的变化。家长可以通过折纸的方式帮助孩子理解，如把一张纸平均分成 4 份，其中的 1 份就是 1/4，如果再平均分成 2 份，每份就是 1/8。通过这样的操作，让孩子直观地理解分数的意义和运算规律。

1.2.4 混合运算与运算定律

概念定义：混合运算是指在一个算式里，含有加、减、乘、除等多种运算的计算。运算定律是指在运算过程中遵循的基本规律，包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等。

知识点解析：混合运算在四年级开始学习，五年级进一步深化。运算定律在四年级学习，它是进行简便计算的依据。掌握运算定律不仅可以提高计算效率，还能培养孩子的数感和符号意识。

典型例题：

基础题：

计算：36-36÷6解题步骤：根据运算顺序，先算除法 36÷6=6，再算减法 36-6=30。答案：30计算：25×4÷25×4解题步骤：乘除是同级运算，从左到右依次计算。25×4=100，100÷25=4，4×4=16。答案：16计算：(34+56)×(82-18)解题步骤：先算括号里的，34+56=90，82-18=64，再算乘法 90×64=5760。答案：5760

提高题：

简便计算：99×37+37解题步骤：利用乘法分配律的逆运算，99×37+1×37=(99+1)×37=100×37=3700。答案：3700简便计算：125×88解题步骤：把 88 拆成 80+8，利用乘法分配律，125×80+125×8=10000+1000=11000。答案：11000简便计算：32×25+32×75解题步骤：利用乘法分配律，32×(25+75)=32×100=3200。答案：3200简便计算：99×25解题步骤：把 99 看作 100-1，利用乘法分配律，100×25-1×25=2500-25=2475。答案：2475

运算定律总结表：

运算定律

用字母表示

举例说明

加法交换律

a+b=b+a

3+5=5+3

加法结合律

(a+b)+c=a+(b+c)

(2+3)+4=2+(3+4)

乘法交换律

a×b=b×a

4×6=6×4

乘法结合律

(a×b)×c=a×(b×c)

(2×3)×5=2×(3×5)

乘法分配律

(a+b)×c=a×c+b×c

(4+5)×2=4×2+5×2

易错点提示：

运算顺序错误：在没有括号的算式里，如果既有乘除又有加减，要先算乘除后算加减。很多孩子会从左到右依次计算，导致错误。滥用简便运算：在 25×4÷25×4 这样的题目中，不能错误地认为可以先算 25×4 和 25×4，而应该按照从左到右的顺序计算。括号的使用：在需要改变运算顺序时，要正确使用括号。如计算 25×4+25×6，如果要先算加法，就需要加上括号变成 25×(4+6)。运算定律的适用条件：每种运算定律都有其适用条件，不能随意套用。如乘法分配律只适用于乘加或乘减的情况。

思考过程：混合运算和运算定律的学习，不仅是为了提高计算能力，更重要的是培养孩子的数学思维。家长在辅导时，可以让孩子先观察算式的特点，思考是否可以运用运算定律进行简便计算。通过这样的训练，让孩子养成观察、分析、选择的习惯，提高思维的灵活性。

1.3 常见的量

概念定义：常见的量是指在日常生活和学习中经常用到的计量单位，包括长度单位、质量单位、时间单位、人民币单位等。

知识点解析：常见的量的认识贯穿整个小学阶段，从一年级的认识钟表、认识人民币开始，逐步扩展到长度、质量、时间等单位的认识和换算。这部分内容与生活密切相关，具有很强的实用性。

典型例题：

基础题：

单位换算：3 米 =（ ）厘米解题步骤：1 米 = 100 厘米，3 米就是 3 个 100 厘米，即 3×100=300 厘米。答案：3002 吨 50 千克 =（ ）千克解题步骤：1 吨 = 1000 千克，2 吨 = 2000 千克，再加上 50 千克，2000+50=2050 千克。答案：20501 时 25 分 =（ ）分解题步骤：1 时 = 60 分，1 时 25 分 = 60 分 + 25 分 = 85 分。答案：854 元 5 角 =（ ）元解题步骤：1 角 = 0.1 元，5 角 = 0.5 元，所以 4 元 5 角 = 4.5 元。答案：4.5比较大小：5000 克○5 千克解题步骤：5000 克 = 5 千克，所以填 "="。答案：=3 时○180 分解题步骤：1 时 = 60 分，3 时 = 180 分，所以填 "="。答案：=2 米○200 毫米解题步骤：2 米 = 2000 毫米，2000 毫米 > 200 毫米，所以填 ">"。答案：>

提高题：

一列火车上午 9:30 从甲地出发，下午 2:30 到达乙地，这列火车行驶了多长时间？解题步骤：下午 2:30=14:30，14:30-9:30=5 小时。答案：5 小时妈妈买了 2 千克苹果和 3 千克梨，苹果每千克 5 元，梨每千克 4 元，一共花了多少钱？解题步骤：苹果的总价：2×5=10 元；梨的总价：3×4=12 元；一共：10+12=22 元。答案：22 元一根绳子长 20 米，剪去 6 米，剩下的每 2 米做一根跳绳，可以做几根跳绳？解题步骤：剩下的长度：20-6=14 米；可以做的跳绳数：14÷2=7 根。答案：7 根

常见单位换算表：

单位类型

单位名称及进率

长度单位

1 千米 = 1000 米，1 米 = 10 分米，1 分米 = 10 厘米，1 厘米 = 10 毫米

质量单位

1 吨 = 1000 千克，1 千克 = 1000 克

时间单位

1 时 = 60 分，1 分 = 60 秒，1 日 = 24 时，1 年 = 12 个月

人民币单位

1 元 = 10 角，1 角 = 10 分

易错点提示：

单位进率混淆：不同单位之间的进率不同，要牢记各种单位间的换算关系。特别是时间单位，进率是 60 而不是 10。大单位化小单位：大单位化成小单位要乘以进率，小单位化成大单位要除以进率。如 5 米 = 500 厘米（5×100），而 500 厘米 = 5 米（500÷100）。复合单位的换算：在进行吨与千克、时与分等复合单位换算时，要先把高级单位换算成低级单位，再加上原来的低级单位。时间的计算：在计算经过时间时，要注意 24 时计时法的转换。如晚上 9 时就是 21 时，下午 3 时就是 15 时。

思考过程：常见的量的学习需要紧密联系生活实际。家长可以在日常生活中随时随地进行教育，如购物时让孩子计算价格和找零，出行时让孩子看时间和里程，帮孩子测量身高体重等。通过这些活动，让孩子在实践中掌握各种计量单位的实际意义和换算方法。

1.4 式与方程

概念定义：用字母表示数是代数的基础，方程是含有未知数的等式。方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，求方程的解的过程叫做解方程。

知识点解析：式与方程在五年级上册学习，这是从算术思维向代数思维过渡的重要阶段。通过用字母表示数，可以简洁地表达数量关系和运算规律；通过学习方程，可以解决一些逆向思维的问题。

典型例题：

基础题：

用含有字母的式子表示：一个练习本 a 元，买 5 个练习本需要多少钱？解题步骤：总价 = 单价 × 数量，所以是 5×a=5a 元。答案：5a 元一辆汽车每小时行 v 千米，t 小时行驶多少千米？解题步骤：路程 = 速度 × 时间，所以是 v×t=vt 千米。答案：vt 千米比 x 的 3 倍多 5 的数是多少？解题步骤：x 的 3 倍是 3x，多 5 就是加 5，所以是 3x+5。答案：3x+5解方程：x+5=12解题步骤：根据等式的性质，两边同时减 5，x+5-5=12-5，x=7。答案：x=73x=18解题步骤：根据等式的性质，两边同时除以 3，3x÷3=18÷3，x=6。答案：x=62x-3=7解题步骤：先两边同时加 3，2x-3+3=7+3，2x=10；再两边同时除以 2，2x÷2=10÷2，x=5。答案：x=5

提高题：

列方程解决问题：一个数的 5 倍减去 15 等于 25，求这个数。解题步骤：设这个数为 x，根据题意列方程：5x-15=25。解方程：5x=25+15，5x=40，x=8。答案：这个数是 8。果园里有苹果树和梨树共 120 棵，其中苹果树的棵数是梨树的 2 倍，两种树各有多少棵？解题步骤：设梨树有 x 棵，则苹果树有 2x 棵。根据题意列方程：x+2x=120。解方程：3x=120，x=40。所以梨树 40 棵，苹果树 2×40=80 棵。答案：梨树 40 棵，苹果树 80 棵。解复杂方程：4(x+2)=16解题步骤：方法一：先去括号，4x+8=16，4x=16-8，4x=8，x=2。方法二：两边同时除以 4，x+2=4，x=2。答案：x=23x+2x=25解题步骤：先合并同类项，5x=25，再两边同时除以 5，x=5。答案：x=5

易错点提示：

字母表示数的书写规范：数字和字母相乘时，乘号可以省略，数字写在字母前面，如 3×a 写作 3a；字母和字母相乘时，乘号也可省略，如 a×b 写作 ab；1 与任何字母相乘时，1 省略不写，如 1×a 写作 a。方程的意义：方程必须满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。如 2x+3 不是方程，3+5=8 也不是方程。解方程的依据：解方程的依据是等式的性质，要注意等式两边同时加上或减去、乘上或除以（0 除外）同一个数，等式仍然成立。检验方程的解：解完方程后，要把 x 的值代入原方程进行检验，看左右两边是否相等。

思考过程：式与方程的学习是数学思维的一次飞跃，从具体的数到抽象的字母，从算术方法到代数方法。家长在辅导时，要帮助孩子完成这个转变。可以从简单的例子入手，如用□表示未知数，让孩子理解 "□+5=8" 中□代表什么；然后过渡到用字母表示，逐步建立代数思维。同时，要让孩子理解方程的本质是寻找使等式成立的未知数的值。

1.5 比和比例

概念定义：两个数相除又叫做两个数的比。表示两个比相等的式子叫做比例。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。

知识点解析：比和比例在六年级学习，它是在分数的基础上进行的拓展。比表示两个数的关系，比例表示两个比的相等关系。这部分内容在生活中有广泛的应用，如比例尺、按比例分配等。

典型例题：

基础题：

求比值：3:5解题步骤：3:5=3÷5=0.6答案：0.61/2:1/3解题步骤：1/2:1/3=1/2÷1/3=1/2×3=3/2答案：3/2化简比：12:18解题步骤：前项和后项同时除以 6，12÷6=2，18÷6=3，所以是 2:3。答案：2:30.5:0.25解题步骤：前项和后项同时乘 4，0.5×4=2，0.25×4=1，所以是 2:1。答案：2:1解比例：2:3=x:6解题步骤：根据比例的基本性质，3x=2×6，3x=12，x=4。答案：x=41/4:1/8=x:1/2解题步骤：1/8×x=1/4×1/2，1/8x=1/8，x=1。答案：x=1

提高题：

按比例分配：学校把 360 本图书按 2:3:4 分配给四、五、六年级，每个年级各分得多少本？解题步骤：总份数：2+3+4=9；四年级：360×2/9=80 本；五年级：360×3/9=120 本；六年级：360×4/9=160 本。答案：四年级 80 本，五年级 120 本，六年级 160 本。比例尺应用：在一幅比例尺是 1:5000000 的地图上，量得北京到上海的距离是 2.1 厘米，北京到上海的实际距离是多少千米？解题步骤：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺，2.1÷(1/5000000)=2.1×5000000=10500000 厘米 = 105 千米。答案：105 千米比例应用题：配制一种农药，药粉和水的比是 1:500。现有药粉 3 千克，需要水多少千克？解题步骤：设需要水 x 千克，1:500=3:x，x=500×3=1500 千克。答案：1500 千克

易错点提示：

比和比值的区别：比表示两个数的关系，如 3:5；比值是一个数，可以是分数、小数或整数，如 0.6 或 3/5。化简比的方法：整数比化简，前项和后项同时除以最大公因数；分数比化简，前项和后项同时乘分母的最小公倍数；小数比化简，先把小数化成整数再化简。比例的基本性质：在使用比例的基本性质时，要注意内项和外项的位置。如 a:b=c:d 中，a 和 d 是外项，b 和 c 是内项，所以 ad=bc。正反比例的判断：判断两种量是否成比例，关键看它们的比值或乘积是否一定。比值一定成正比例，乘积一定成反比例。

思考过程：比和比例的学习要注重理解其意义和应用。家长可以通过生活中的例子帮助孩子理解，如调配果汁时果汁和水的比，制作蛋糕时各种材料的比例，地图上的比例尺等。通过这些实际应用，让孩子感受到比和比例在生活中的重要作用，提高学习兴趣。

二、图形与几何2.1 图形的认识2.1.1 平面图形

概念定义：平面图形是指所有点都在同一平面内的图形。小学阶段主要学习长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆等基本平面图形的特征和性质。

知识点解析：平面图形的认识从一年级开始，经历了直观认识、特征认识、性质理解三个阶段。低年级主要通过观察和操作认识图形的形状，中高年级则深入学习图形的边、角等特征。

典型例题：

基础题：

判断题：长方形是特殊的平行四边形。（ ）解题步骤：长方形具有平行四边形的所有特征（对边平行且相等），并且四个角都是直角，所以是特殊的平行四边形。答案：√有一组对边平行的四边形是梯形。（ ）解题步骤：梯形的定义是只有一组对边平行的四边形，"只有" 很关键，有两组对边平行的是平行四边形。答案：×填空题：三角形具有（ ）性，平行四边形具有（ ）性。答案：稳定；不稳定一个三角形至少有（ ）个锐角，最多有（ ）个直角。解题步骤：三角形内角和是 180°，如果有两个直角，就已经 180° 了，不可能有第三个角，所以最多只能有一个直角。答案：2；1

提高题：

数一数，下图中有多少个三角形？

△

△△

△△△

解题步骤：小三角形有 3 个，由 2 个小三角形组成的有 2 个，由 3 个小三角形组成的有 1 个，总共 3+2+1=6 个。答案：6 个用一根 12 厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都是整厘米数，可以围成几种不同的长方形？解题步骤：长方形的周长 =（长 + 宽）×2，所以长 + 宽 = 12÷2=6 厘米。可能的组合：长 5 宽 1，长 4 宽 2，长 3 宽 3（正方形是特殊的长方形）。答案：3 种在一个长 8 厘米、宽 6 厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径是多少厘米？解题步骤：在长方形中画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，所以是 6 厘米。答案：6 厘米

常见平面图形特征表：

图形名称

边的特征

角的特征

其他特征

长方形

对边平行且相等

四个角都是直角

有两条对称轴

正方形

四条边都相等

四个角都是直角

有四条对称轴

三角形

三条边

三个角

内角和 180°

平行四边形

对边平行且相等

对角相等

容易变形

梯形

只有一组对边平行

-

等腰梯形两腰相等

圆

由曲线围成

-

所有半径都相等

易错点提示：

图形的分类：要明确各种图形之间的关系，如正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形等。角的认识：在认识角时，要注意角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。对称轴的数量：不同图形的对称轴数量不同，如长方形有 2 条，正方形有 4 条，圆有无数条。三角形的分类：三角形按角分有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分有不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

思考过程：平面图形的认识需要通过大量的观察和操作来建立表象。家长可以让孩子用小棒摆图形，用折纸的方法折出各种图形，用积木搭出立体图形后观察其各个面的形状等。通过这些活动，让孩子在动手操作中认识图形的特征，培养空间观念。

2.1.2 立体图形

概念定义：立体图形是指各部分不在同一平面内的几何图形，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形。小学阶段主要学习长方体、正方体、圆柱、圆锥等基本立体图形(4)。

知识点解析：立体图形的认识从一年级开始接触，主要通过观察和触摸认识常见立体图形的形状。五年级深入学习长方体和正方体的特征、表面积和体积，六年级学习圆柱和圆锥的相关知识。

典型例题：

基础题：

填空题：长方体有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点。答案：6；12；8正方体的六个面都是（ ）形，12 条棱都（ ）。答案：正方；相等圆柱的两个底面是完全相同的（ ），侧面展开是一个（ ）。答案：圆；长方形判断题：正方体是特殊的长方体。（ ）答案：√圆柱的高有无数条，圆锥的高只有一条。（ ）答案：√

提高题：

一个长方体的棱长总和是 48 厘米，长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是多少厘米？解题步骤：长方体的棱长总和 =（长 + 宽 + 高）×4，所以高 = 48÷4-6-4=12-6-4=2 厘米。答案：2 厘米用棱长 1 厘米的小正方体拼成一个棱长 2 厘米的大正方体，需要多少个小正方体？解题步骤：大正方体的体积 = 2×2×2=8 立方厘米，小正方体体积 = 1×1×1=1 立方厘米，所以需要 8÷1=8 个。答案：8 个一个圆柱的底面半径是 3 厘米，高是 5 厘米，它的侧面积是多少？解题步骤：圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 = 2πr×h=2×3.14×3×5=94.2 平方厘米。答案：94.2 平方厘米

常见立体图形特征表：

图形名称

面的特征

棱（或母线）的特征

其他特征

长方体

6 个面（一般都是长方形）

12 条棱（分 3 组，每组 4 条）

相对的面完全相同

正方体

6 个面都是正方形

12 条棱都相等

所有面都完全相同

圆柱

2 个底面（圆形）+1 个侧面

无数条高

侧面展开是长方形

圆锥

1 个底面（圆形）+1 个侧面

1 条高

侧面展开是扇形

易错点提示：

立体图形的展开图：同一个立体图形可以有多种展开方式，在判断展开图能否折成立体图形时，要注意面与面之间的位置关系。表面积和体积的区别：表面积是立体图形所有面的面积之和，用面积单位；体积是物体所占空间的大小，用体积单位。圆柱和圆锥的关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的 3 倍，但如果只是体积相等、底面积相等，高不一定成 3 倍关系。单位换算：在计算表面积和体积时，要注意单位的统一。如长、宽、高的单位不同时，要先统一单位再计算。

思考过程：立体图形的认识比平面图形更抽象，需要借助实物和模型来帮助理解。家长可以让孩子观察家中的各种物品，如冰箱（长方体）、魔方（正方体）、水杯（圆柱）、漏斗（圆锥）等，通过观察和触摸认识立体图形的特征。同时，可以让孩子用橡皮泥捏出各种立体图形，或用纸板制作立体图形的展开图，通过动手操作加深理解。

2.2 图形的测量2.2.1 长度、面积、体积

概念定义：长度是指一维空间的度量，面积是指物体表面或封闭图形的大小，体积是指物体所占空间的大小。

知识点解析：测量的学习从二年级开始，先认识长度单位，三年级学习面积，五年级学习体积。这部分内容的学习遵循从一维到二维再到三维的规律，体现了数学知识的系统性。

典型例题：

基础题：

计算图形的周长：一个长方形长 8 厘米，宽 5 厘米，周长是多少？解题步骤：长方形周长 =（长 + 宽）×2=（8+5）×2=26 厘米。答案：26 厘米一个正方形边长 6 分米，周长是多少？解题步骤：正方形周长 = 边长 ×4=6×4=24 分米。答案：24 分米计算图形的面积：一个平行四边形底 12 厘米，高 8 厘米，面积是多少？解题步骤：平行四边形面积 = 底 × 高 = 12×8=96 平方厘米。答案：96 平方厘米一个三角形底 10 厘米，高 6 厘米，面积是多少？解题步骤：三角形面积 = 底 × 高 ÷2=10×6÷2=30 平方厘米。答案：30 平方厘米一个梯形上底 5 厘米，下底 9 厘米，高 4 厘米，面积是多少？解题步骤：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷2=（5+9）×4÷2=28 平方厘米。答案：28 平方厘米计算图形的体积：一个长方体长 5 分米，宽 4 分米，高 3 分米，体积是多少？解题步骤：长方体体积 = 长 × 宽 × 高 = 5×4×3=60 立方分米。答案：60 立方分米一个正方体棱长 4 厘米，体积是多少？解题步骤：正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 = 4×4×4=64 立方厘米。答案：64 立方厘米

提高题：

一个圆形花坛的直径是 10 米，在它的周围修一条 1 米宽的小路，小路的面积是多少？解题步骤：内圆半径 = 10÷2=5 米，外圆半径 = 5+1=6 米。小路面积 = 外圆面积 - 内圆面积 =π×6²-π×5²=36π-25π=11π≈34.54 平方米。答案：约 34.54 平方米把一个棱长 6 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？解题步骤：圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长 6 厘米。体积 =π×(6÷2)²×6=π×9×6=54π≈169.56 立方厘米。答案：约 169.56 立方厘米一个圆锥形沙堆，底面半径 3 米，高 2 米，每立方米沙重 1.5 吨，这堆沙重多少吨？解题步骤：圆锥体积 = 1/3×π×3²×2=1/3×π×9×2=6π 立方米。重量 = 6π×1.5=9π≈28.26 吨。答案：约 28.26 吨

常见图形计算公式表：

图形类型

周长 / 棱长总和公式

面积公式

体积 / 容积公式

长方形

C=(a+b)×2

S=ab

V=abh

正方形

C=4a

S=a²

V=a³

平行四边形

-

S=ah

-

三角形

-

S=ah÷2

-

梯形

-

S=(a+b)h÷2

-

圆

C=πd=2πr

S=πr²

-

长方体

棱长总和 =(a+b+h)×4

表面积 =(ab+ah+bh)×2

V=abh

正方体

棱长总和 = 12a

表面积 = 6a²

V=a³

圆柱

-

侧面积 = 2πrh，表面积 = 2πr²+2πrh

V=πr²h

圆锥

-

底面积 =πr²

V=1/3πr²h

易错点提示：

周长和面积的区别：周长是封闭图形一周的长度，用长度单位；面积是图形所占平面的大小，用面积单位。在计算时要注意区分。面积公式的推导：各种图形的面积公式都有其推导过程，理解推导过程有助于记忆公式。如平行四边形通过割补转化成长方形，三角形和梯形通过拼摆转化成平行四边形等。体积单位的换算：1 立方米 = 1000 立方分米，1 立方分米 = 1000 立方厘米，1 升 = 1 立方分米，1 毫升 = 1 立方厘米。在进行单位换算时要注意这些进率。组合图形的计算：在计算组合图形的面积或体积时，要先分析图形的组成，然后通过分割、添补等方法转化成规则图形进行计算。

思考过程：测量的学习需要建立清晰的概念和熟练的计算能力。家长可以让孩子用尺子测量家中各种物品的长度、宽度和高度，计算它们的周长和面积；用容器测量水的体积，理解容积单位的实际意义。通过这些实践活动，让孩子在操作中理解测量的概念，掌握计算方法。

2.2.2 角度与方向

概念定义：角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。方向是指东、南、西、北等基本方向以及它们之间的夹角方向(4)。

知识点解析：角的认识从二年级开始，学习直角、锐角、钝角的初步认识；四年级深入学习角的度量和分类；五年级学习平角和周角；六年级学习用方向和距离确定位置。

典型例题：

基础题：

用量角器量出下面角的度数：

∠

/ \

/ \

/ \

/ \

/_________\

解题步骤：将量角器的中心与角的顶点重合，0 刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度就是这个角的度数。答案：（根据实际测量结果填写）判断题：平角就是一条直线。（ ）解题步骤：平角是由两条射线组成的，有一个顶点；而直线没有端点。答案：×周角是一条射线。（ ）解题步骤：周角是两条射线重合在一起，但仍有一个顶点。答案：×填空题：直角 =（ ）度，平角 =（ ）度，周角 =（ ）度。答案：90；180；3601 个周角 =（ ）个平角 =（ ）个直角。答案：2；4

提高题：

已知∠1=30°，求下面各角的度数：

∠1

/ \

/ \

/_______\

∠2 ∠3

解题步骤：如果这是一个三角形，∠2+∠3=180°-30°=150°；如果这是一个平角被分成三个角，且已知其他两个角的关系，可以进一步计算。答案：（根据具体图形确定）根据描述在图中标出位置：学校在广场的北偏东 45° 方向 200 米处。医院在广场的南偏西 30° 方向 300 米处。解题步骤：以广场为观测点，先确定方向（用量角器量出角度），再确定距离（根据比例尺计算）。答案：（根据实际作图结果）

角度与方向知识点表：

角的类型

度数范围

特征

锐角

0°<α<90°

小于直角

直角

α=90°

两条边互相垂直

钝角

90°<α<180°

大于直角小于平角

平角

α=180°

两条边成一条直线

周角

α=360°

两条边完全重合

基本方向

夹角方向

东、南、西、北

东北（东偏北 45°）、东南（东偏南 45°）

东南西北四个方向把平面分成 8 个区域

西北（西偏北 45°）、西南（西偏南 45°）

易错点提示：

角的度量方法：使用量角器时，要注意 "两重合一看数"：量角器的中心与角的顶点重合，0 刻度线与角的一条边重合，看角的另一条边所对的刻度。还要注意区分内圈刻度和外圈刻度。角的大小比较：角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。比较角的大小时，要注意角的度数，而不是角的边的长短。方向的描述：在描述方向时，一般先说南北，再说东西。如北偏东 30°，而不说东偏北 60°。位置的确定：用方向和距离确定位置时，要明确观测点、方向、距离三个要素。同一位置，选择不同的观测点，方向和距离可能不同。

思考过程：角度与方向的学习需要培养空间观念和方向感。家长可以让孩子在户外进行方向识别练习，如面向太阳升起的方向是东方，然后依次确定其他方向；在地图上学习看方向标，理解地图上的方向规则；用量角器测量生活中的各种角，如课本的角、窗户的角等。通过这些活动，让孩子在实践中建立方向感和角度概念。

2.3 图形的运动

概念定义：图形的运动包括平移、旋转和轴对称三种基本形式。平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动；旋转是指在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度；轴对称是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合(4)。

知识点解析：图形的运动在二年级开始初步认识，学习简单的平移和旋转现象；五年级深入学习图形的变换，包括轴对称图形的性质、平移和旋转的特征；六年级学习图形的放大和缩小。

典型例题：

基础题：

判断题：电梯的升降是平移现象。（ ）答案：√钟表指针的转动是旋转现象。（ ）答案：√平行四边形是轴对称图形。（ ）解题步骤：平行四边形无论沿哪条直线对折，两边都不能完全重合，所以不是轴对称图形。答案：×画出下面图形的对称轴：

等腰三角形 长方形 圆

解题步骤：等腰三角形有 1 条对称轴（底边上的高）；长方形有 2 条对称轴（对边中点连线）；圆有无数条对称轴（任意一条直径）。答案：（根据实际作图结果）

提高题：

将下图先向右平移 5 格，再向下平移 3 格，画出平移后的图形：

□□□

□□□

□□□

解题步骤：先确定每个顶点平移后的位置，然后依次连接各点。答案：（根据实际作图结果）将下图绕点 O 顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形：

O

|

|

|

△

解题步骤：将三角形的每个顶点绕点 O 顺时针旋转 90°，注意旋转中心 O 的位置不变。答案：（根据实际作图结果）按 2:1 的比画出下面图形放大后的图形：

小正方形（边长2厘米）

解题步骤：放大后的边长 = 2×2=4 厘米，画出边长 4 厘米的正方形。答案：（根据实际作图结果）

图形运动特征对比表：

运动类型

运动特点

运动要素

性质

平移

物体沿直线移动

方向、距离

形状、大小不变，位置改变

旋转

物体绕定点转动

旋转中心、方向、角度

形状、大小不变，位置改变

轴对称

沿直线对折重合

对称轴

形状、大小不变，位置可能改变

易错点提示：

平移的距离：在数平移的格数时，要数图形上某个点移动的格数，而不是两个图形之间的空格数。旋转的方向：旋转方向分为顺时针和逆时针两种，在描述时要明确方向。旋转的角度：旋转角度通常是 90°、180°、270° 等特殊角，在画旋转图形时，要注意每个点旋转的角度相同。放大和缩小：图形的放大和缩小是按一定的比进行的，这个比是指对应边的比。放大后的图形与原图形形状相同，大小不同。

思考过程：图形的运动需要通过大量的操作来建立表象。家长可以让孩子用积木进行平移游戏，如把积木从一个位置平移到另一个位置；用纸片做旋转实验，如把一张纸绕一个点旋转；用折纸的方法制作轴对称图形，如折出各种窗花。通过这些活动，让孩子在动手操作中理解图形运动的特征，培养空间想象能力。

2.4 图形与位置

概念定义：图形与位置主要学习如何用数对和方向距离来确定物体在平面中的位置(4)。

知识点解析：位置的学习从一年级开始，用上下、前后、左右描述物体的相对位置；三年级学习八个方向，用方向词描述路线；四年级学习用方向和距离确定位置；六年级学习用数对确定位置。

典型例题：

基础题：

填空题：小明坐在教室的第 3 列第 4 行，用数对表示是（ ， ）。答案：（3，4）数对（5，2）表示第（ ）列第（ ）行。答案：5；2根据下图填空：

北

↑

|

|

学校 —— 广场 —— 医院

|

|

↓

公园

- 广场在学校的（ ）面，医院在广场的（ ）面。

- 答案：东；东

- 公园在学校的（ ）方向。

- 答案：南

**提高题**：

1. 在下面的方格图中标出各点：

- A（2，1）、B（4，3）、C（6，1）

- 连接A、B、C三点，看看是什么图形？

- 解题步骤：先找到各点的位置，再连接。

- 答案：（根据实际作图，可能是等腰三角形）

2. 根据描述画出路线图：

- 从家出发，先向东走200米到超市，再向北偏东45°走150米到公园。

- 解题步骤：确定起点，按方向和距离依次画出各段路线。

- 答案：（根据实际作图结果）

3. 描述从公园回家的路线：

- 解题步骤：与来时的方向相反，距离相同。从公园出发，先向南偏西45°走150米到超市，再向西走200米到家。

- 答案：从公园出发，先向南偏西45°走150米到超市，再向西走200米到家。

**位置确定方法对比表**：

| 方法类型 | 表示方式 | 特点 | 适用场景 |

|---------|---------|------|---------|

| 上下前后左右 | 相对位置关系 | 简单直观 | 描述身边物体位置 |

| 八个方向 | 方向词+距离 | 方向性强 | 描述路线 |

| 数对 | （列，行） | 精确确定 | 地图、座位等 |

| 方向+距离 | 方向角+长度 | 精确描述 | 确定具体位置 |

**易错点提示**：

1. **数对的顺序**：数对中第一个数表示列，第二个数表示行，不能颠倒。在确定列和行时，要明确观察者的位置。

2. **方向的描述**：在描述方向时，要注意方向的准确性。如北偏东30°和东偏北60°虽然是同一个方向，但描述方式不同。

3. **距离的表示**：在确定位置时，距离通常用图上距离表示，要根据比例尺计算实际距离。

4. **观测点的选择**：在描述位置时，观测点不同，描述的结果也不同。如"学校在小明家的东边"和"小明家在学校的西边"是同一个意思。

**思考过程**：位置的学习需要在实际场景中进行。家长可以在带孩子外出时，让孩子描述行走的路线，如从家到学校怎么走，经过哪些标志性建筑；在参观公园时，让孩子看导游图，找到自己所在的位置和想去的景点；在看地图时，学习如何看比例尺和方向标，理解地图上的位置关系。通过这些活动，让孩子在生活中建立位置概念。

## 三、统计与概率

### 3.1 统计

**概念定义**：统计是指对数据的收集、整理、描述和分析的过程。通过统计，可以帮助我们了解数据的分布特征和变化规律<reference type="end" id=4>。

**知识点解析**：统计的学习从一年级开始，通过象形统计图渗透统计思想；二年级学习简单的统计表和条形统计图；三年级学习复式统计表和平均数；四年级学习复式条形统计图和单式折线统计图；五年级学习中位数和众数；六年级学习扇形统计图。

**典型例题**：

**基础题**：

1. 下面是某班同学喜欢的水果情况统计表：

| 水果种类 | 苹果 | 香蕉 | 橘子 | 梨 |

|---------|------|------|------|------|

| 人数 | 12 | 8 | 10 | 5 |

- 根据统计表回答问题：

- 喜欢（ ）的人数最多，喜欢（ ）的人数最少。

- 这个班一共有（ ）人。

- 解题步骤：比较人数大小；求总人数用加法。

- 答案：苹果；梨；35

2. 根据上面的数据，绘制条形统计图：

- 解题步骤：先画横轴和纵轴，横轴表示水果种类，纵轴表示人数；再根据数据画出相应高度的直条。

- 答案：（根据实际作图结果）

3. 求平均数：

- 小明期末考试成绩：语文90分，数学95分，英语85分，平均分是多少？

- 解题步骤：平均分=总分÷科目数=（90+95+85）÷3=270÷3=90分。

- 答案：90分

**提高题**：

1. 下面是某地区一周的气温情况：

| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |

|------|------|------|------|------|------|------|------|

| 最高气温（℃） | 25 | 26 | 24 | 28 | 27 | 29 | 28 |

- 绘制折线统计图，并回答问题：

- 这一周的最高气温是多少？

- 哪一天的气温最低？

- 解题步骤：先描点，再连线；观察折线图找出最高和最低值。

- 答案：29℃；星期三

2. 某公司员工工资情况如下（单位：元）：

- 2000、2200、2300、2500、2800、3000、15000

- 求这组数据的平均数、中位数和众数。

- 解题步骤：平均数=（2000+2200+2300+2500+2800+3000+15000）÷7=32800÷7≈4685.71元；将数据从小到大排列：2000、2200、2300、2500、2800、3000、15000，中间的数是2500，即中位数；每个数都只出现一次，没有众数。

- 答案：平均数约4685.71元，中位数2500元，没有众数

3. 根据下面的扇形统计图回答问题：

体育 30%

/

/

/

音乐 25% 美术 20%

\ /

\ /

\ /

其他 25%

- 参加体育活动的人数占总人数的（ ）%。

- 如果总人数是200人，参加音乐活动的有多少人？

- 解题步骤：直接看扇形图的百分比；用总人数×百分比。

- 答案：30；200×25%=50人

**统计图表特点对比表**：

| 图表类型 | 特点 | 适用情况 | 注意事项 |

|---------|------|---------|---------|

| 统计表 | 数据清晰准确 | 整理数据 | 要写清楚表头和单位 |

| 条形统计图 | 直观比较数量 | 展示不同类别数据 | 直条宽度相同，间隔相等 |

| 折线统计图 | 反映变化趋势 | 展示数据变化 | 先描点后连线 |

| 扇形统计图 | 显示部分与整体关系 | 展示各部分占比 | 所有百分比之和为100% |

**易错点提示**：

1. **统计图表的制作**：在制作统计图表时，要注意标题、横轴纵轴的名称、单位等要素的完整性。

2. **数据的收集**：在收集数据时要做到不重复、不遗漏，确保数据的准确性。

3. **平均数的理解**：平均数容易受极端值影响，在有极端值的情况下，用中位数或众数表示数据的一般水平更合适。

4. **图表的选择**：要根据数据的特点和需要选择合适的统计图表。如比较数量用条形图，看变化趋势用折线图，看部分与整体关系用扇形图。

**思考过程**：统计的学习要注重在实际情境中应用。家长可以让孩子统计家中每月的开支情况，制作成统计表或统计图；统计家庭成员的身高、体重数据，计算平均数；在观看体育比赛时，统计各队的得分情况，分析比赛结果。通过这些活动，让孩子在实践中理解统计的意义和方法。

### 3.2 概率

**概念定义**：概率是研究随机现象发生可能性大小的数学分支。在小学阶段，主要学习事件发生的确定性和不确定性，以及用分数表示简单事件发生的可能性<reference type="end" id=4>。

**知识点解析**：概率的学习从三年级开始，初步体验事件发生的确定性和不确定性；五年级深入学习，能用分数描述事件发生的概率；六年级进一步理解概率的意义。

**典型例题**：

**基础题**：

1. 判断题：

- 太阳从东方升起是必然事件。（ ）

- 答案：√

- 明天会下雨是随机事件。（ ）

- 答案：√

- 公鸡会下蛋是不可能事件。（ ）

- 答案：√

2. 填空题：

- 盒子里有5个红球和3个白球，从中任意摸一个球，摸到红球的可能性是（ ），摸到白球的可能性是（ ）。

- 解题步骤：总共有8个球，红球5个，所以摸到红球的可能性是5/8；白球3个，所以摸到白球的可能性是3/8。

- 答案：5/8；3/8

**提高题**：

1. 一个骰子，六个面上分别写着1、2、3、4、5、6，掷一次：

- 掷出奇数的可能性是多少？

- 掷出大于4的数的可能性是多少？

- 解题步骤：奇数有1、3、5三个，所以可能性是3/6=1/2；大于4的数有5、6两个，所以可能性是2/6=1/3。

- 答案：1/2；1/3

2. 设计一个转盘，使指针停在红色区域的可能性是1/4，停在蓝色区域的可能性是1/2：

- 解题步骤：把转盘平均分成4份，红色占1份，蓝色占2份，剩下1份可以是其他颜色。

- 答案：（根据实际设计结果）

3. 盒子里有3个红球、2个黄球和1个白球，从中任意摸一个球：

- 摸到红球的可能性是多少？

- 要使摸到黄球的可能性是1/2，应该怎么办？

- 解题步骤：总共有6个球，红球3个，所以可能性是3/6=1/2；要使摸到黄球的可能性是1/2，黄球应该占总球数的一半。现在有2个黄球，总球数应该是4个，所以需要去掉2个其他颜色的球（比如1个红球和1个白球）。

- 答案：1/2；去掉2个其他颜色的球

**概率知识点总结表**：

| 事件类型 | 定义 | 可能性 | 例子 |

|---------|------|--------|------|

| 必然事件 | 一定会发生的事件 | 1 | 太阳从东方升起 |

| 不可能事件 | 一定不会发生的事件 | 0 | 月亮从西方升起 |

| 随机事件 | 可能发生也可能不发生的事件 | 0到1之间 | 明天会下雨 |

**易错点提示**：

1. **可能性的计算**：计算可能性时，要注意总的情况数和符合条件的情况数。可能性=符合条件的情况数÷总的情况数。

2. **游戏公平性**：判断游戏是否公平，要看双方获胜的可能性是否相等。如果相等，游戏公平；如果不相等，游戏不公平。

3. **概率的范围**：任何事件发生的可能性都在0到1之间，0表示不可能发生，1表示一定发生。

4. **实际应用**：在实际生活中，概率只是一个理论值，实际发生的结果可能与概率不符。

**思考过程**：概率的学习要通过实验和游戏来进行。家长可以和孩子一起做摸球游戏，记录每次摸到不同颜色球的次数，计算频率；玩掷骰子游戏，统计各种点数出现的次数；设计转盘游戏，让孩子理解如何通过调整区域大小来改变可能性。通过这些活动，让孩子在游戏中理解概率的概念。

## 四、综合与实践

### 4.1 数学广角

**概念定义**：数学广角是人教版教材中设置的一个特色内容，主要向学生渗透一些重要的数学思想方法，如排列组合、逻辑推理、优化思想等<reference type="end" id=4>。

**知识点解析**：数学广角的内容分布在各个年级，每个年级都有不同的主题，通过具体的问题情境，让学生在解决问题的过程中感受数学思想方法的应用。

**典型例题**：

**基础题**：

1. 排列问题（二年级）：

- 用1、2、3三个数字能组成多少个不同的两位数？

- 解题步骤：先确定十位，有3种选择；再确定个位，有2种选择。所以一共3×2=6个。

- 答案：6个（12、13、21、23、31、32）

2. 组合问题（二年级）：

- 有3个小朋友，每两个人握一次手，一共要握几次手？

- 解题步骤：用连线法，第一个小朋友要和另外两个握手（2次），第二个小朋友只需要和第三个握手（1次），所以一共2+1=3次。

- 答案：3次

3. 鸡兔同笼（四年级）：

- 笼子里有鸡和兔共8只，它们的腿共有26条，鸡和兔各有几只？

- 解题步骤：假设全是鸡，腿数是8×2=16条，比实际少26-16=10条。每把一只兔当成鸡就少算2条腿，所以兔有10÷2=5只，鸡有8-5=3只。

- 答案：鸡3只，兔5只

**提高题**：

1. 植树问题（四年级）：

- 在一条长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵？

- 解题步骤：间隔数=100÷5=20个，两端都栽，所以棵数=间隔数+1=21棵。

- 答案：21棵

- 如果两端都不栽，要栽多少棵？

- 解题步骤：棵数=间隔数-1=19棵。

- 答案：19棵

2. 优化问题（四年级）：

- 妈妈要烙3张饼，每次只能烙2张，每面需要3分钟，怎样烙最省时间？

- 解题步骤：第一次烙饼1正面和饼2正面（3分钟），第二次烙饼1反面和饼3正面（3分钟），第三次烙饼2反面和饼3反面（3分钟），一共9分钟。

- 答案：最少需要9分钟

3. 找次品（五年级）：

- 有9个零件，其中有一个是次品（质量较轻），用天平称，至少称几次能保证找出次品？

- 解题步骤：把9个分成3份（3,3,3），先称两份。如果平衡，次品在第三份；如果不平衡，次品在轻的一份。再把有次品的3个分成（1,1,1），称一次就能找出次品。所以至少称2次。

- 答案：2次

**数学广角内容汇总表**：

| 年级 | 主题 | 主要内容 | 数学思想方法 |

|------|------|---------|-------------|

| 二年级 | 简单的排列组合 | 用数字组数、握手问题 | 有序思考 |

| 三年级 | 集合、等量代换 | 重叠问题、等量代换 | 集合思想、转化思想 |

| 四年级 | 优化、鸡兔同笼 | 烙饼问题、田忌赛马、鸡兔同笼 | 优化思想、假设法 |

| 五年级 | 数字编码、找次品 | 身份证号码、邮政编码、找次品 | 符号化思想、推理思想 |

| 六年级 | 数与形、鸽巢问题 | 数与形结合、抽屉原理 | 数形结合、极限思想 |

**易错点提示**：

1. **排列与组合的区别**：排列与顺序有关，组合与顺序无关。如"12"和"21"是两个不同的排列，但在握手问题中，甲和乙握手与乙和甲握手是同一次。

2. **植树问题的类型**：要区分两端都栽、只栽一端、两端都不栽三种情况，选择正确的公式计算。

3. **鸡兔同笼的解法**：除了假设法，还可以用列表法、方程法等。要根据题目的特点选择合适的方法。

4. **找次品的策略**：找次品时，要把物品分成3份，尽量平均分，这样能保证用最少的次数找出次品。

**思考过程**：数学广角的内容具有很强的趣味性和挑战性，家长可以通过游戏的方式和孩子一起学习。如玩数字卡片游戏学习排列组合；通过分物品学习优化问题；用天平称物品学习找次品等。通过这些活动，让孩子在玩中学，在学中思，培养数学思维能力。

### 4.2 解决问题的策略

**概念定义**：解决问题的策略是指在面对数学问题时，采用的思考方法和解题路径。常见的策略有画图、列表、转化、假设、列举等<reference type="end" id=4>。

**知识点解析**：解决问题的策略贯穿整个小学数学学习过程，从一年级开始就逐步渗透各种策略，到高年级形成系统的策略体系。

**典型例题**：

**基础题**：

1. 画图策略：

- 小明有15张卡片，小红比小明多5张，小红有多少张？

- 解题步骤：用线段图表示，先画小明的15张，再画小红的，比小明多5张。

- 答案：15+5=20张

2. 列表策略：

- 一辆汽车3小时行驶180千米，照这样计算，5小时行驶多少千米？

- 解题步骤：先列表找出速度，再计算5小时的路程。

| 时间（小时） | 路程（千米） |

|------------|-------------|

| 3 | 180 |

| 1 | 60（速度） |

| 5 | 300 |

- 答案：300千米

**提高题**：

1. 转化策略：

- 计算1+2+3+4+……+100

- 解题步骤：转化成（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050

- 答案：5050

2. 假设策略：

- 全班42人去公园划船，一共租了10条船。每条大船坐5人，每条小船坐3人。租用的大船和小船各有几条？

- 解题步骤：假设全租大船，可坐10×5=50人，比实际多8人。每把一条大船换成小船，就少坐2人，所以小船有8÷2=4条，大船有6条。

- 答案：大船6条，小船4条

3. 列举策略：

- 有一些铅笔，总数在20-30支之间，平均分给3个小朋友或5个小朋友都剩下1支，这些铅笔有多少支？

- 解题步骤：列举出20-30之间除以3余1的数：22、25、28；除以5余1的数：21、26。同时满足两个条件的是26。

- 答案：26支

**解决问题策略汇总表**：

| 策略名称 | 适用情况 | 具体方法 | 优点 |

|---------|---------|---------|------|

| 画图 | 分析数量关系 | 画线段图、示意图 | 直观形象 |

| 列表 | 整理信息 | 制作表格 | 清晰有序 |

| 转化 | 复杂问题简单化 | 变形、替换 | 化难为易 |

| 假设 | 条件不明确 | 假设一种情况 | 简化思考 |

| 列举 | 答案有限 | 逐一列出可能 | 全面完整 |

| 倒推 | 已知结果求初始 | 从后往前推 | 逆向思维 |

**易错点提示**：

1. **策略的选择**：要根据问题的特点选择合适的策略。如行程问题适合画图，鸡兔同笼适合假设，找规律适合列表等。

2. **策略的综合运用**：很多问题需要综合运用多种策略。如先画图理解题意，再列表整理信息，最后用假设法求解。

3. **检验答案**：求出答案后，要代入原题检验，看是否符合所有条件。

4. **反思策略**：解决问题后，要思考用了什么策略，还有没有其他方法，哪种方法更简便，不断优化解题策略。

**思考过程**：解决问题策略的学习需要在大量的练习中积累经验。家长可以让孩子在解决数学问题时，先思考用什么策略，再动手解答；在孩子解答后，让他说说思考过程，用了什么方法；遇到困难时，引导孩子尝试不同的策略。通过这样的训练，让孩子逐步掌握各种策略，提高解决问题的能力。

## 结语

至此，我们已经系统地梳理了小学阶段数学的全部核心内容。从数与代数到图形与几何，从统计与概率到综合与实践，每一个知识点都凝聚着数学的智慧与魅力。通过这份大全，我们不仅看到了知识的广度，更感受到了数学思维的深度。

回顾整个小学阶段的数学学习，我们经历了从具体到抽象、从简单到复杂、从单一到综合的认知历程。一年级时，我们从数数开始，认识了20以内的数；到了六年级，我们已经能够理解负数、比例等较为抽象的概念。这种螺旋式上升的学习过程，不仅让我们掌握了扎实的基础知识，更重要的是培养了良好的数学思维习惯。

在数与代数领域，我们学会了用数字和符号表达数量关系，掌握了加、减、乘、除四则运算，理解了方程的思想，能够用比例解决实际问题。这些知识不仅是计算的工具，更是思维的体操。在图形与几何领域，我们从认识简单的立体图形和平面图形开始，逐步学会了测量、计算、变换和确定位置，培养了空间观念和几何直观。在统计与概率领域，我们学会了收集、整理和分析数据，理解了随机现象，培养了数据分析观念。在综合与实践领域，我们通过数学广角和解决问题的策略，学会了用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题，用数学的方法解决问题。

作为家长，在辅导孩子学习数学的过程中，我们不仅要关注知识的传授，更要注重能力的培养。要让孩子在理解的基础上记忆，在应用的过程中深化。要鼓励孩子多思考、多提问、多尝试，培养他们的创新意识和实践能力。同时，我们也要认识到，每个孩子的学习进度和理解能力都有所不同，要因材施教，给予孩子充分的耐心和鼓励。

数学学习是一个长期的过程，需要坚持不懈的努力。希望这份大全能够成为家长辅导孩子的得力助手，帮助孩子在数学学习的道路上走得更加稳健、更加自信。让我们携手并进，陪伴孩子一起探索数学的奥秘，感受数学的乐趣，收获成功的喜悦。相信在我们的共同努力下，每一个孩子都能在数学的天空中自由翱翔，创造属于自己的精彩未来！