用班级和学生举例，班级里的每一位同学就是这个集合的元素，所有同学组成的班级就是一个集合。

定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

怎么表示元素和集合之间的关系？

通常用 “属于”（∈）和 “不属于”（∉）来表示。要是 a 是集合 A 里的元素，就说 a 属于集合 A，写成 a∈A。要是 a 不是集合 A 里的元素，就说 a 不属于集合 A，写成 a∉A。常用英文大写字母表示集合，小写字母表示集合的元素。

介绍常用数集：自然数集（N）、正整数集（N * 或 N+）、整数集（Z）、有理数集（Q）、实数集（R）。

集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性

确定性：集合的元素必须是确定的。“偏瘦的学生” 不能构成集合，因为“偏瘦”标准不明确。互异性：集合里的元素是互不相同的。集合 {1,2,2,3} 应写成 {1,2,3}。无序性：集合里的元素没有顺序要求。 {1,2,3} 与 {3,2,1} 表示同一个集合。

集合的表示方法

表示方法

说明

适用场景

列举法

把集合里的元素一个一个列出来，然后用“{}” 括起来表示集合。

元素个数较少的有限集合，eg.由一周七天组成的集合 {星期一，星期二，星期三，星期四，星期五，星期六，星期日}。元素有明显规律的集合，eg.正整数的平方数集合 {1, 4, 9, 16, …}。

描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合。形式为 {x∈I | p (x)}。

当集合中的元素较多或具有明显的共同特征时，适合使用描述法。

eg.不等式 x - 1＞0 的解集可以表示为 {x∈R|x＞1}

练习 1：

题目：下列对象能组成集合的是（ ）

A. 非常小的正数

B. 世界上著名的数学家

C. 2024 年参加巴黎奥运会的所有国家

D. 3，3，3，4，4

答案：C

考点：集合元素的特性（确定性、互异性、无序性）。

解题思路：根据集合元素的特性来判断。选项 A 中 “非常小” 没有明确标准；选项 B 中“著名”没有明确界定；选项 D 不满足集合元素的互异性。

练习 2：

题目：用列举法表示集合 {x | x² - 5x + 6 = 0}。

答案：{2,3}

考点：一元二次方程的求解、集合的列举法表示。

解题思路：通过因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0，解得 x = 2 或 x = 3，进而用列举法表示集合。

练习 3：

题目：已知集合 A = {x | ax² - 3x + 2 = 0}，若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围。

答案：a = 0 或 a ≥ 9/8

考点：一次方程与二次方程的根的情况、集合元素个数与方程根的关系、分类讨论思想。

解题思路：分两种情况讨论，当 a = 0，方程为 - 3x + 2 = 0，有一个解；当 a ≠ 0 时方程为二次方程，利用判别式判断根的情况，由判别式 Δ = (-3)² - 4×a×2 ≤ 0，即 9 - 8a ≤ 0，解不等式得 a ≥ 9/8。