如图，为一道小学三年级几何竞赛题。

图一

例1、已知两个正方形的面积差为24平方厘米，边长和为12厘米，求大正方形的面积。

对小学三年级学生来说，此题具有相当的难度，主要考查孩子的几何直观能力！

一、成人视角的求解（代数方法、超纲）

设大小正方形的边长分别为a和b，则由面积差为24及边长和为12可得，

（1）a²-b²=24；

（2） a+b=12。

再由平方差公式，即

（3）a²-b²=(a+b)(a-b)，

可得24=12×(a-b)，也即有

（4）a-b=2。

再联立(2)式和(4)式，求得a=7厘米，b=5厘米。故大正方形面积为49平方厘米。

上述求解过程中的(2)式和(4)式，实际上已将几何问题例1转化为经典倍差问题1：已知两个数之和为12，两数之差为2，求大数。这是一个纯粹的代数问题。

故上述求解实质上是代数方法求解，不仅把例1的几何特性(如几何直观性等)完全抹杀了，还使用了平方差公式和方程组求解等超纲知识。

二、孩子视角的求解（几何直观、不超纲）

1、在大正方形内分割出一个小正方形，剩余两块分别记为S2和S3，在小正方形上方补齐一长方形记为S1，如下图：

图二

2、为方便起见，把三个长方形S1、S2和S3的面积，仍分别记为S1、S2和S3。

3、由图二可知，长方形S1和S3的长宽对应相等，从而面积相等S1=S3。另由题意面积差为24可得S2+S3=24，从而有S2+S1=24，也即长方形S2和S1构成的大长方形面积为24平方厘米。

4、注意到长方形S2和S1构成的大长方形的长为12厘米，求得该大长方形的宽为24/12=2厘米。

5、注意到长方形S1和S3的长宽对应相等，故长方形S3的宽也为2厘米。再由图二可知，小长方形边长的两倍恰为10厘米，即知大小正方形边长分别为7厘米和5厘米。因此大正方形面积为49平方厘米。

三、关于经典倍差问题1

孩子视角几何直观求解的步骤5，实际上给出了经典倍差问题1一个更为直观的解答。

四、平方差公式与例1的关系

成人视角的求解，主要使用了平方差公式（3），这是该解法超纲的原因之一。

从例1的孩子视角求解过程，孩子也不难归纳出平方差公式。事实上，沿用成人视角求解的设法：大小正方形的长宽分别为a和b。则由图二，可得

a²-b²=S2+S3=S1+S2=(a+b)(a-b)，

也即有平方差公式(3)成立。

简言之，例1的几何直观求解方法，可较为简单地推导出平方差公式。

实际上，初中代数课程中有关平方差公式的最简单最直观的证明方法就是例1的孩子视角求解方法。

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