高等数学是很多大学生的噩梦，但在高数老师眼里，学习数学的方法是如此简单的明了。来自北京大学的关启安教授通过讲述他解决强开性猜想的思路历程，向大家分享了学习数学心得与建议。那么什么是强开性猜想？它的研究对象是什么？

出品："格致论道讲坛"（ID：SELFtalks）

以下内容为北京大学数学科学学院教授关启安演讲实录：

这个题目是从强开性猜想说起，汇报包括三部分。

首先，数学一般是这样的，讲这个猜想，先要讲它是关于什么的一个猜想。

它的研究对象被称为乘子理想层，它是n维复流形上的乘子理想层。

这个乘子理想层的定义是复流形上的全纯函数芽层的一个子层，满足加权的L2可积性条件，这是局部可积的一个条件。

这个权，是复流形上的一个多次调和函数。

乘子理想层这个研究对象，是复几何和复代数几何中重要的研究对象，在现代高维代数几何的研究中，起一个中心作用。

它的研究困难就是，一般的多次调和函数，就是权的奇点很复杂，可以取负无穷。

下面就要介绍一下：在乘子理想层的研究与应用中，做出重要贡献的专家包括田刚院士、萧荫堂院士、Demailly院士、Kollár院士等。

这里边就要介绍一下强开性猜想的内容。

首先要介绍一下提出的过程。

这是Demailly院士在2000年左右提出的，他研究了具有强开性质的乘子理想层并得到重要的成果。

由此提出这样一个猜想，就是任意的乘子理想层都具有强开性质。

Demailly教授在他的2012年出版的专著中，称这个猜想可能非常难以建立，就是 probably quite hard to estabish。

这个强开性猜想还有一个重要的特殊情形，我们称为开性猜想，就是平凡的乘子理想层具有强开性质。

这里需要解释一下什么是“开”。

这个“开”，可能需要大家学过一点高等数学的内容，高等数学我们都学过。

一说高等数学，我心情就比较舒畅，因为我讲过高等数学。

高等数学里边有一个非常重要的概念，就是黎曼可积。

但是我们知道，黎曼可积的一个必要条件是有界。

所以说，对于无界的，我们又再定义一个叫做广义的黎曼可积的概念。

这里边有三个函数，三个广义的黎曼积分。

第一第二个我们知道 ，这个广义积分是可积的话，那么它就当且仅当P是小于1的。

而第三个积分可积的话，当且仅当P是小于等于1的。

也就是说，它在等于1的地方也是可积的。

这样的话，我们知道例1和例2，这个可积的P的取值范围，是一个开区间，这就是我们所谓的开的含义。

例3是个闭区间，那它也就不具备这个开的性质。

所以我们就说，强开性质实际上对应的就是例1和例2的情况，就是说P取值是一个开区间。

再解释一下，如果一个P是可积的，那么这个P还可以再大一点，这是区间的定义。

接下来我们就要讲一下强开性猜想的解决，回顾一下它的研究历程。

二维的开性猜想是被Favre-Jonsson解决的，他们解决的这个猜想是通过代数几何的赋值树理论，他们发展了一套叫做赋值树的理论。

他们的论文发表在这个顶尖的数学期刊了，这是 JAMS（数学领域最顶级的期刊之一）。

二维的强开性猜想也是沿着这个路子来的，也是要用到这个所谓的赋值树代数理论，这是Jonsson-Mustata解决。

而开性猜想是被Berndtsson解决的，他用的是凸几何当中发展而来的叫做complex Brunn-Minkowski Inequality不等式的这套方法。

强开性猜想是被我和我的老师周向宇院士合作解决的。

我们的定理是这个猜想成立，就是任意乘子理想层具有强开性质。

当然我们的论文是2015年发表的，实际上2013年做出来的。

这个猜想难在哪儿？

难在我们不同于之前的方法，我们是对于维数进行了归纳。

可能同学们会觉得很奇怪，前面的人为什么没有想到对于维数进行归纳呢？

这里我们需要解释一下，为什么我没有列一维的开性猜想被谁解决。

因为一维的对于专家来说，是一个熟知的经典结论，它有非常多的方法来证明，因为一维的乘子理想层是有分类的，它有结构定理。

而二维的情况就非常复杂，我们看到他们发表的期刊，也几乎是数学当中最难发的期刊之一了，这是JAMS 和 Inventiones。

而二维之后，它们的代数框架就发展到三维，就很难去进行，而Berndtsson的方法也没有用到对于维数的归纳法。

这里我们可以回顾一下，我们在中学学归纳法的时候，一般第一个例子就是1+到N这样一个求和公式，用归纳法来进行证明。

那么N等于1的时候，这个就不用证了，N等于2的时候，1+2等于3，你也是很容易证明这件事的。

三维的时候也还可以，1+2+3等于6，这个也可以。

而这个时候你非常机智地想，如果N等于K成立，那么K+1怎么证。

这是一个证明过程，对于这个猜想来说，我们可以看到，一维是熟知的，二维就非常困难，所以说想用归纳法，这件事情就很困难。

而我跟我的老师经过多次讨论，我们发现了一种在一维情况下的一个全新的证明强开性猜想的办法，而这个方法恰好可以进行对于维数的归纳，这样我们就完全解决了这个猜想。

这个猜想有很多评价，我取了其中一个，就是《美国数学评论》的一个评价。

评价称，我跟我的老师合作解决的这个强开性猜想的工作，是近年来复分析与代数几何交叉领域最重大的成就之一。

他用的是the greast achievements，这是一个评价。

既然我们提到了复分析与代数几何交叉领域，我们就要说一下，复分析与代数几何交叉领域是多复变中最前沿、最核心的领域，是代数几何中最重要的研究领域之一。

主要研究人物包括Berndtsson院士、Demailly院士、Hacon院士、Kollár院士和萧荫堂院士等。

下面就是介绍一下第二部分了，这也是汇报一下我在研究生的时候学数学的体会，这里引用了我的老师在讨论班上经常教导我们的一些话。

首先是勤于思考，多动脑筋，当然这个是对于基础数学的研究生的学习。

然后是对于一个定理，不光要知道内容、会证明，还要思考条件是否必要，证明是否可以简化，结论是否可以改进，有没有相应的例子等。

需要说一下，这个可能是基础数学学习的一个特点。

我们在中学的时候，数学往往就是一个条件、一个结论，非常的干净利索。

但是往后我们会发现定理条件越来越多，就会出现一个问题 ，这个条件是否是有必要的。

当然一般来说，经典定理的条件都是有必要的，那我们考虑的问题就是，如果这个条件去掉的话，应该就会有反例。

这里也是讨论有没有相应的例子，就是考虑这方面的例子。

还有，你要学习它的证明，比较重要的方法，这个证明是否可以简化。

如果你可以把这个证明进行简化，那说明你对这个定理的证明的理解，已经非常到位了。

最后就说结论是否可以改进，这件事情就与研究相关了。

如果你可以改进它的结论，那说明你的研究已经开始进步了。

其实我的一个重要身份就是数学教师，因为我们的教学任务必须要有的，就是要给本科生教学。

我上课也是，我这学期的教学就是高数，高等数学，所以我正好也讲一讲，高等数学的感悟。

讲到高等数学的感悟，就要讲到我上第一堂课。

实际上我在到北大教学之前，我没有上过这种大课，但是上过小课。

我们新教师培训的时候，学校的领导非常用心地为我们准备了很多资深的教师，让他们给我们讲如何上第一堂课。

我记得当时好像是一个化学院的资深的教授给我们讲，我也非常认真地做了笔记，但是当我推开门进到阶梯教室，看着满屋子学生的时候，我什么也想不起来了，我就感觉我的嘴跟我的人已经分离了。

然后我就讲啊，讲完之后，过了几年，我问第一批学生，我第一堂课是不是对你们进行了非常大的人生启迪，或者对你们以后的工作有什么重要的影响。

他们说，这我可能也想不起来，但是我们都记得你当时很紧张，说我从小学到中学都没有见过这么紧张的老师。

但是现在第一堂课，我肯定是要介绍一下，实际上是课程介绍。

首先介绍我是谁，这个课怎么讲，怎么去评分，然后怎么交作业，基本上这个意思。

那么一般是这样讲的 ，首先，这个是我们的教材，高等数学。

这个教材里面包含的内容有一定的特点，它包含的内容非常多。

因为它包含微积分、常规方程、线性代数、解析几何等等。

这是其实在数学系里边，这是好几门课，但是它都浓缩在一本书当中。

这样学习起来会有这样一件事情。

一般我们开始讲的时候，先讲极限，为了方便同学们理解，我们都会跟高中的内容进行一些糅合，慢一点引入，让大家比较轻松愉快地去理解这件事情。

但是会给同学们一个印象，这个课很简单。

但是我们有这么多内容，我们讲到后边，肯定就要开始加速了，加速的时候同学就会发懵，而这个懵的情况，很有可能会持续到期末。

就是他一旦清醒，发现快考试了，这又很麻烦。

所以说，同学们学这个课，一定要提前预习，还要尽量理解内容。

要加强理解，就要多做题，多读书，读好书。

然后我们会面临一个问题，两个选择，一个是仔细学习经典内容，还是说，大量地阅读相关的材料。

仔细学习经典内容是一个比较累的过程，因为你要做很多题目，然后要去，仔细地算很多东西，算很多例子。

而阅读相关文献，可能给人一种感觉，就是我的知识很广博。

但我的建议是，先仔细学习经典内容，有余力再阅读相关文献。

为什么呢？

因为数学它是有一定思想的，也就是说，当你把经典内容学清楚之后，再读一些文献，是有可能达到触类旁通的效果的。

当然有同学肯定会有这个疑问 ，如果我学习经典内容还很困难，那我怎么办。

这部分同学也不要灰心，因为我也经常有这种感觉，学习经典内容的时候，确实也是一直有困难的。

但是，我们只要努力学习就可以了。

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