——基于近三年高考真题的高频考点拆解

一、近三年高考不等式考点分布与分值占比

根据教育部考试中心《中国高考评价体系》及2021-2023年全国卷数据，不等式相关考点在高考中占比约10%-15%，主要集中在以下题型：

考点分类 题型示例 分值范围 高频考法

基本不等式 最值问题、条件最值 5-12分 构造定值、应用“1”的技巧

线性规划 可行域与目标函数最值 5分 图形法、交点计算

绝对值不等式 解集范围、参数范围 5-10分 零点分段法、几何意义

不等式证明 比较法、分析法、放缩法 12分 综合应用、创新情境

不等式应用题 利润最大化、资源分配 12分 建模能力、实际问题转化

二、高一阶段必须掌握的5大解题技巧

1. 基本不等式：“一正二定三相等”

技巧核心：

一正：参与运算的数均为正数；

二定：和或积为定值（需通过配凑构造）；

三相等：等号成立条件需满足。

例题：已知( x > 0 )，求( y = x + \frac{4}{x} )的最小值。

解题步骤：

验证( x > 0 )，满足“一正”；

构造定值：( x \cdot \frac{4}{x} = 4 )（积为定值）；

应用基本不等式：( y \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4 )，当且仅当( x = 2 )时取等。

2. 线性规划：“画图法”快速定位最优解

步骤：

画出约束条件对应的直线；

确定可行域（阴影区域）；

移动目标函数直线，找到最优解交点。

例题：求( z = 3x + 2y )在约束条件( \begin{cases} x + y \leq 4 \ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases} )下的最大值。

解题步骤：

可行域为第一象限内以( (0,0) )、( (4,0) )、( (0,4) )为顶点的三角形；

目标函数( z = 3x + 2y )在顶点( (4,0) )处取得最大值( z = 12 )。

3. 绝对值不等式：零点分段法与几何意义

技巧：

零点分段法：将绝对值符号内的表达式分解为多个区间，分段讨论；

几何意义：绝对值表示数轴上两点间的距离。

例题：解不等式( |2x - 1| < 3 )。

解题步骤：

分解为( -3 < 2x - 1 < 3 )；

解得( -1 < x < 2 )。

4. 不等式证明：比较法与放缩法

比较法：通过作差或作商判断符号；

放缩法：通过放大或缩小不等式的一边，简化证明过程。

例题：证明( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 )（( a, b > 0 )）。

解题步骤：

作差：( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{(a - b)^2}{ab} \geq 0 )；

结论成立。

5. 应用题：变量设定与约束条件转化

关键点：

明确变量含义（如成本、利润、时间等）；

将实际条件转化为数学表达式（如不等式组）。

例题：某工厂生产甲、乙两种产品，利润分别为( 5 )元/件和( 8 )元/件，资源约束为( 2x + y \leq 100 )（( x )、( y )为产量）。求最大利润。

解题步骤：

设利润函数( z = 5x + 8y )；

可行域顶点计算得最大利润( z = 800 )元。

三、避坑指南：常见错误与风险提示

基本不等式误用：忽略“一正二定三相等”条件，导致等号不成立；

线性规划画图错误：误判可行域范围或交点坐标计算失误；

绝对值不等式分段遗漏：未覆盖所有区间，导致解集不完整；

应用题建模偏差：变量设定与实际问题不符，导致模型错误。