因此，奔驰定理得证二三角形五心性质的证明 三角形内心性质三角形内接圆圆心或三角形内角平分线的交点证明设三角形ABC的内角分别为$angle A， angle B， angle C$，对应边分别为$a， b， c$，内切圆半径为$r$根据切线长定理和角平分线性质，可以证明内心到三角形三边的距离相等，且等。

定理概览想象图中，点P在三角形ABC内，记三角形的面积为SP根据奔驰定理，我们有证明之旅证法一面积与线段比例如图所示，延长AP交BC于点D，设ADBD=λ，那么我们有面积关系 SP = λ * SABC SAPC从而得出SP = λ * SABC 1+λ证法二正弦形式面积公式取三角形ABC的高AD。

若点$O$为一般点，可通过设面积比为未知数，结合向量共线定理或坐标法建立方程求解结合三角形“四心”的性质简化计算三角形的“四心”重心垂心内心外心与奔驰定理存在对应关系，可利用其性质快速确定面积比示例重心面积比恒为$111$内心面积比与三角形三边长度成反比，即$S。

奔驰定理的三种证明方法及其应用于三角形五心计算的方式如下证明方法一 向量分析法取BC边上的点Q，使得AP与BC延长线相交于Q 步骤通过向量分析，得到PA·BD+PB·CD+PC·AD=AP·AQ，再利用共线向量定理和向量相等的性质，推导出PA·BD+PB·CD+PC·AD与PD·AB+PE·BC+PF·CA之间的等价。

在一个任意三角形ABC中，如果以BC为底边向外作等边三角形BCD，则BD的延长线上一点E与AC的延长线上一点F相交，且DE=EF，则AE=EC，即AE为三角形ABC的角平分线这个定理与三角形的四个特殊点三角形的垂心重心外心和内心之间有着密切的关系资料拓展一奔驰定理的证明 1过点D作DE的。

由于这个定理和奔驰的logo很相似，人们把它称为奔驰定理奔驰定理是有关三角形四心向量式的完美统一表示，尤其在解决与三角形的四心相关的问题时有着决定性的基石作用涉及数量积的取值范围或最值时，利用quot极化公式quot可将多变量问题，转变为单变量问题，再用数形结合等方法求解。