本篇利用勾股定理证明直角坐标系内两点的距离公式。

我们知道，在数轴上，每个点对应一个实数，并且长度密度的分布处处为1，所以任意两点的距离为。现在我们来看在直角坐标系中，两点的距离是怎样的。

例10.1.3.1在平面直角坐标系中，如图10.1.3.1，设两点，求AB

图10.1.3.1 平面直角坐标系内两点距离

解：设点，则直线

这两条直线相当于坐标轴的平移，由于坐标轴垂直于原点，故于点C

所以是直角三角形，

根据勾股定理，得

答毕。

在上述例子中我们得到了平面直角坐标系中两点间的距离公式

式10.1.3.1

例10.1.3.2在空间直角坐标系中，如图10.1.3.2，设两点，求AB

图10.1.3.2 空间直角坐标系内两点距离

解：在平面中，取点，则

注意到点都在直线

上，直线BB’相当于z轴的平移，仍垂直于xOy坐标平面，而平面是xOy坐标平面的平移结果

所以，直线BB’垂直于平面，而直线AB’在平面上，故

在中

答毕。

在上述例子中我们得到了空间直角坐标系内两点间的距离公式

式10.1.3.2

我们知道球面或圆周上的点与球（圆）心的距离相等，因此根据直角坐标系内两点的距离公式可求得球面和圆周的解析式。

图10.1.3.3 平面直角坐标系内的圆

在平面直角坐标系中，如图10.1.3.3，设圆心坐标为，半径为r，则圆周的解析式为

式10.1.3.3

特别地，圆心在原点，半径为1的圆称作单位圆（unit circle），其解析式为

式10.1.3.4

图10.1.3.4 空间直角坐标系内的球面

在空间直角坐标系中，如图10.1.3.4，设球心坐标为，半径为r，则球面的解析式为

式10.1.3.5

特别地，球心在原点，半径为1的球面称作单位球（unit ball），其解析式

式10.1.3.6